Question

已知抛物线的解析式为y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求证：不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值；
（2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的所有点P的坐标（可用含m的代数式表示）
（3）若（2）中△PAB的面积为s（s＞0），试根据面积s值的变化情况，确定符合条件的点P的个数．

Answer

（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，再设出A、B的坐标，然后代入公式即可求出AB的长．
（2）本题需先设出P的坐标，再由题意得出b的值，然后即可求出符合条件的所有点P的坐标．
（3）本题需分当s=8时，当0＜s＜8时，当s＞8时三种情况进行讨论，即可得出符合条件的点P的个数．
【解析】
（1）∵△=（2m）2-4×（-1）（4-m2）=16＞0，
∴不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点．
设A（x1，0），B（x2，0），
则
=；

（2）设P（a，b），则由题意b=-a2+2am+4-m2，且，
解得b=±4．
当b=4时得：a=m．
即P（m，4）；
当b=-4时得：．即或P（m-2，-4）；

（3）由（2）知当s=8时，符合条件的点P有2个，
知当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，
当知当s＞8时，符合条件的点P有2个．