Question

若抛物线y=ax²+bx+3与y=-x²+3x+2的两交点关于原点对称，则ab=    ．

Answer

设两交点坐标为（x1，y1），（x2，y2），因为抛物线的交点和关于原点对称，则x1+x2=0，y1+y2=0，构造方程组即可得到（a+1）x2+（b-3）x+1=0，由x1+x2=0，求出b的值，再求出a的值，代入ab即可求出答案．
【解析】
由题可得：ax2+bx+3=-x2+3x+2，
（a+1）x2+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-=0，两根之积为＜0（关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数），
解得b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x1，y1），（x2，y2）．
这两个根都适合第二个函数解析式，
代入第二个函数解析式得：y1=-x12+3x1+2，y2=-x22+3x2+2
那么y1+y2=-（x12+x22）+3 （x1+x2）+4=0，
∵x1+x2=0，
∴y1+y2=-（x1+x2）2+2x1x2+4=0，
解得x1x2=-2，
代入两根之积得=-2，
解得a=-，
故a=-，b=3．
∴ab=3×（-）=-．
故答案为：-．