Question

如图，在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O为△ABC的外接圆，P为弧BC上任一点，则四边形OABP的周长的最大值是    cm．

Answer

四过边形OABP的周长为OA+AB+BP+OP，在这四条线段中OA、OC是半径是定值，AB是定值5，故周长要想最大，则BP的值最大，其位置应在点C处，即求得BC的长为BP的最大值．点B作BD⊥AC于D，连接OB，OC，先根据直角三角形ABD求出BD的长，再根据直角三角形BDC求出BC的长，根据圆周角和圆心角之间的关系可求得△OBC是等腰直角三角形，可求出半径的长，从而求得四边形的最大周长．
【解析】
过点B作BD⊥AC于D，连接OB，OC
∵AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°
∴BD=sin45°•AB=
BC=2BD=5cm
∵∠BOC=2∠A=90°
∴OB=OC=5cm
当点P在点C的位置时，四边形OABP的周长最大为5+5+5+5=（15+5）cm．