Question

如图，抛物线y=ax²-4ax+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点D（4，-3）在抛物线上，且四边形ABDC的面积为18．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若正比例函数y=kx的图象将四边形ABDC的面积分为1：2的两部分，求k的值；
（3）将△AOC沿x轴翻折得到△AOC′，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOC′放大为原来的两倍后得到△EPG（即△EPG∽△AOC′，且相似比为2），使得点E、G恰好在抛物线上？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由抛物线解析式可知抛物线对称轴为x=2，根据对称性可求C点坐标，则四边形ABDC为等腰梯形，CD=4，OC=3，由已知四边形面积可求AB=8，根据等腰梯形的性质可求A点坐标，将A、C两点坐标代入抛物线解析式即可；
（2）由（1）可知S四边形ABDC=18，S△OBD=9，则S△OBD=S四边形ABDC，分①直线y=kx与边BD相交，②直线y=kx与边CD相交，两种情况求k的值；
（3）存在．翻折后点C′（0，3），由图形的位似及相似比为2，按照①同向放大，②反向放大，两种情况，根据C′为PG的中点，由相似比求P、E、G的坐标．
【解析】
（1）∵y=ax2-4ax+c=a（x-2）2-4a+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．（1分）
∵点D（4，-3）在抛物线上，∴由对称性知C（0，-3）．（2分）
∴四边形ABCD为梯形．
由四边形ABDC的面积为18、CD=4，OC=3得AB=8，∴A（-2，0）．（3分）
由A（-2，0）、C（0，-3）得y=x2-x-3．（4分）

（2）∵S四边形ABDC=18，S△OBD=9，
∴S△OBD=S四边形ABDC，
∴只可能出现两种情形：
①直线y=kx与边BD相交于点E，且S△OBE=S四边形ABDC=×18=6；
∵OB=6，
∴点E到OB的距离为2，
直线BD的解析式为y=x-9，
令y=-2，则x=，
∴E点坐标为（，-2）
把E（，-2）代入y=kx得k=-；
②直线y=kx与边CD相交于点F，且S四边形OBDF=S四边形ABDC=×18=12（5分）；
∵OB=6，
∴DF=2，
∴F点坐标为（2，-3），
把F（2，-3）代入y=kx得k=-．
（3）翻折后点C′（0，3），由图形的位似及相似比为2，可得：
∵根据位似得平行k相等设解析式，
直线AC′的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴y=1.5x+3，
∴直线EG的解析式为：y=1.5x+c，
∴两函数交点坐标为：，
∴整理可得出：x2-10x-12-4c=0，
∴x1+x2=10，
∵图形的位似及相似比为2，
∴EN=2AO=4，GN=2C′O=6，
∴x2-x1=4，
解得：x2=7，x1=3，
∴E点横坐标为：3，进而得出纵坐标为：-，
或E点横坐标为：7，进而得出纵坐标为：，
即可得出：
①若为同向放大，则E（3，-）、G（7，）；（8分）
②若为反向放大，则E（7，）、G（3，-）．（9分）
若为情形①，则P（-7，）；（10分）
若为情形②，
则P（1，）．（11分）