Question

已知梯形AOCD在直角坐标系中的位置如图1所示，其中AD∥OC，AO⊥OC，且CD=5，若C点的坐标为C（5，0），tan∠DCO=
（1）求D点的坐标及过C、D、O三点的抛物线解析式；
（2）动点P在线段OA上自O点出发向A点运动，速度为每秒1个单位，同时动点Q自A点出发以相同的速度，沿折线A-D-C运动，当其中一点到达终点时另一点也立即停止运动．设△APQ的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）当（2）中的S取最大值时，过Q作QE⊥x轴于E，此时，抛物线上是否存在点M，使S_△OPM=S_△QEM？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据tan∠DCO=，以及CD=5，得出DE=4，CE=3，再利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）根据0＜x≤2 时，以及2＜x≤4时，分别得出即可；
（3）根据二次函数最值以及三角形面积求法得出即可．
【解析】
（1）作DE⊥CO，
∵CD=5，C点的坐标为C（5，0），
tan∠DCO=，
∴=，
∴DE=4，CE=3，
∴AD=2，
∴D（2，4），
将O（0，0），D（2，4），C（5，0）代入解析式：
，
解得：．
∴y=-x2+x；

（2）0＜x≤2 时，
S=（4-t）t=-t2+2t，
2＜x≤4时，
S=-（ t-）2+=-t2+t+；

（3）∵t=2时，S最大=2，
当S△OPM=S△QEM，PO=2，DE=4，
∴PM=2AD=4，
∴M1（4，），
同理可得 M2（，）．