综合实践
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中,折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD(如图1),将点B分别与点A,A
1,A
2,…,D重合,然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点,用平滑的曲线顺次连接各交点,得到一条曲线.
探索
如图2,在平面直角坐标系xOy中,将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合,BC边放在x轴的正半轴上,AB=m,AD=n(m≤n),将纸片折叠,MN是折痕,使点B落在边AD上的E处,过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,交直线MN于点P,连接OP
(1)求证:四边形OMEP是菱形;
(2)设点P坐标为(x,y),求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(用含m、n的式子表示)
运用
(3)将长方形纸片ABCD如图3所示放置,AB=8,AD=12,将纸片折叠,当点B与点D重合时,折痕与DC的延长线交于点F.试问在这条折叠曲线上是否存在K,使得△KCF的面积是△KOC面积的
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,若存在,写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
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实际运用
玉树地震牵挂着千家万户,某单位安排甲、乙两车先后分别以60km/h的速度从M地将一批救灾物质运往N地装备.两车出发后,发货站发现甲车遗漏一件物品,遂派丙车将遗漏物品送达甲车,丙车完成任务后即沿原路原速返回(物品交接时间不计).如图表示三辆车离M地的距离s(km)随时间t(min)变化的图象.请根据图象回答:
(1)说明图中点B的实际意义;
(2)丙车出发多长时间后追上甲车?
(3)丙车与乙车在距离M地多远处迎面相遇?
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运动探究
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC=10,CP⊥AB于P,顶点C从O点出发沿x轴正方向移动,顶点A随之从y轴正半轴上一点移动到点O为止.
(1)若点P的坐标为(m,n),求证:m=n;
(2)若OC=6,求点P的坐标;
(3)填空:在点C移动的过程中,点P也随之移动,则点P运动的总路径长为______
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实际运用
今年我国南方地区遭受严重旱情,为了帮助农民解决饮水问题,某部队在高300米处的山顶A处发现水源,现沿着BC与CA的线路铺设管道,在B处测得C、A两处的仰角分别为30°和45°,在A处测得C处的俯角分别为60°.求该部队从B处铺到A处管道的总长度.(精确到1米,
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,
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.)
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作图探究:如图,点P是直角坐标系xOy第三象限内一点.
(1)尺规作图:请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若点P的坐标为(-4,-2).
①请求出⊙M的半径;
②填空:若Q是⊙M上的点,且∠PMQ=90°,则点Q的坐标为______.
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代数推理
若实数a、b满足
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(1)求
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的值;
(2)求证:
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