Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△ABC的外接圆⊙O’交y轴不同于点c的点D’，⊙O’的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；
（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A、B两点的坐标即可得出抛物线的对称轴解析式，也就可得出抛物线顶点的坐标，然后根据顶点、A、B这三个点的坐标即可求出的抛物线的解析式．
（2）本题的关键是求出E点的坐标，根据圆的对称性可知，D与E关于抛物线的对称轴对称．因此只需求出D点的坐标即可得出E点的坐标，那么首先要求出OD的长，已知了OA、OB、OC的长，可根据切割线定理求出OD的长，进而可得出D、E点的坐标，然后可根据C、E的坐标用待定系数法求出直线CE的函数解析式．
（3）求F点的坐标要分类进行讨论：
①当∠CED=∠CFO，即△CDE∽△COF，由于DE∥x轴，因此直线CE与x轴的交点就满足F点的条件，设此点为F1，F1关于y轴的对称点F2也符合这样的条件．
②当∠CFO=∠DCE时，即△CDE∽△FOC，可根据相似三角形得出的对应成比例线段求出OF的长，即可得出F点的坐标．（同①一样y轴左右各有一个符合条件的F点）
如图：可过O′作CF3的垂线设垂足为H，由于∠HCO′是锐角，因此O′H＜O′C，所以CF3与圆O′的相交，同理可得出CF1，DF4也与圆O′相交．由于∠F4CO=∠CED，而∠CED+∠DCE=90°，那么∠F4CE=90°，因此只要CF4与圆O′相切，CF1，CF2，CF3都与圆相交．
（1）【解析】
由对称性可知抛物线的最高点的横坐标是3，所以抛物线的最高点坐标为（3，4）
∴
解得．
所以抛物线解析式为y=-x2+6x-5．

（2）如图，∵C（0，-5），
∴OC=5，
∵OA•OB=OD•OC，
∴1×5=OD×5
∴OD=1
∵直线x=3垂直平分DE，
∴DE=6．
∵DE∥x轴，
∴E（6，-1）
设直线CE的解析式为y=kx+b．
∴
解得
故直线CE解析式为y=x-5．

（3）假设存在点F，使△CDE与△COF相似．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=90°
∵∠COF=90°
∵∠CDE=∠COF∴△DCE∽△COF或△CDE∽△FOC
当△CDE∽△COF时，=，所以OF=．
当△CDE∽△FOC时，=，所以OF=．
所以存在点F，使△CDE与△COF相似．其坐标为F1（，0），F2（-，0）
F3（，0），F4（-，0）
∵∠OCF4=∠CED，
∴∠ECF4=90°
所以直线CF4与⊙O'相切
∵∠CDE=90°
∴直线CF1经过圆心O′，
∴直线CF1与⊙O'相交，
∴点F3在线段OB上
∴∠F3CE为锐角，做OH'⊥CF3，垂足为H，所以O′H＜O′C．
∴直线CF3与⊙O′相交，同理直线CF2与⊙O′相交．
故直线CF4与⊙O′相切，直线CF1、CF2、CF3都与⊙O′相交．