Question

如图，已知等边三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半时，AE的长为（ ）

A．
B．
C．或
D．或

Answer

可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．
【解析】
∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C，∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，∴△ABC∽△EFG，
∴=，
∵△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半，
∴=，
∵AB=1，∴EF=，
设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，
∴∠AGH=30°，AH=（1-x），EH=，
∴由勾股定理得HG2=AG2-AH2=EG2-EH2，
即（1-x）2-[（1-x）]2=（）2-（x-）2，
解得x=．
故选D．