Question

如图，在矩形ABCD中，点E对角线是BD上一点，作∠CEF=∠CBD，过点C作CF⊥CE交EF于F，连接DF．求证：
（1）；
（2）BD⊥DF．

Answer

（1）根据题干条件可知∠CEF=∠CBD，∠BCD=∠ECF=90°，于是可以证得△BCD∽△ECF，即可证得，（2）设EF和CD的交点为O，根据△BCD∽△ECF，求得∠BDC=∠EFC，又知∠DOE=∠COF，即可证明△DOE∽△COF，于是可得，进而得到，又知∠DOF=∠EOC，所以证得△ECO∽△DOF，然后得到∠CFO=∠CDF，最后求得∠BDF=90°．
证明：（1）∵过点C作CF⊥CE交EF于F，
∴∠ECF=90°，
∵∠CEF=∠CBD，∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ECF，
∴，

（2）设EF和CD的交点为O，
∵△BCD∽△ECF，
∴∠BDC=∠EFC，
∵∠DOE=∠COF，
∴△DOE∽△COF，
∴，
∴，
∵∠DOF=∠EOC，
∴△ECO∽△DOF，
∴∠CFO=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴BD⊥DF．