Question

如图1，已知l₁∥l₂，点A、B在直线l₁上，AB=4，过点A作AC⊥l₂，垂足为C，AC=3．过点A的直线与直线l₂交于点P，以点C为圆心，CP为半径作圆C（如图2）．
（1）当CP=1时，求cos∠CAP的值；
（2）如果圆C与以点B为圆心，BA为半径的圆B相切，求CP的长；
（3）探究：当直线AP处于什么位置时（只要求出CP的长），将圆C沿着直线AP翻折后得到的圆C′恰好与直线l₂相切？并证明你的结论．

Answer

（1）根据锐角三角函数的性质，求出AP=，即可得出cos∠CAP；
（2）利用相切两圆的性质，得出即可；
（3）利用圆C'与直线相切，C'P⊥CP，且C'P=CP； 即∠CPA=45°； 所以CP=AC=3，即可得出答案．
【解析】
（1）∵AC=3，CP=1，AC⊥CP，
∴AP=，
∴cos∠CAP===；

（2）∵圆C与以点B为圆心，BA为半径的圆B相内切，
AB=4，AC=3，
∴B、C为圆心
∴BC=5
CP=5+4=9；
圆C与以点B为圆心，BA为半径的圆B相外切，
AB=4，AC=3，
∴B、C为圆心
∴BC=5
CP=5-4=1，

（3）∵将圆C沿着直线AP翻折后得到的圆C′恰好与直线l2相切，
∴CC'⊥AP； 圆C'与直线相切，C'P⊥CP，且C'P=CP； 即∠CPA=45°； 所以CP=AC=3．
∴当线段CP的长为3时，将圆C沿着直线AP翻折后得到的圆C′恰好与直线l2相切．