Question

如图所示，在直角坐标系中，矩形OBCD的边长OB=4，OD=2．
（1）P是OB上一个动点，动点 Q在 PB或其延长线上运动，OP=PQ，作以 PQ为一边的正方形PQRS，点P从O点开始沿射线OB方向运动，直到点P与点B重合，设OP=x，正方形PQRS与矩形OBCD重叠部分的面积为y，写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）中，当x分别取1和3时，y的值分别是多少？
（3）已知直线l：y=ax-a都经过一定点A，求经过定点A且把矩形OBCD面积平均分成两部分的直线的关系式和A点的坐标．

Answer

（1）根据矩形OBCD的边长OB=4，OD=2．利用正方形的面积公式即可列出y与x的函数关系式；
（2）将x=1和x=3分别代入y=x2；y=-2x+8，即可求解；
（3）根据对称中心M的直线可把矩形OBCD的面积平均分成相等的两部分，求出M，
设所求直线关系式为y=kx+b（k≠0），求得k=1，b=-1，然后即可求出定点A且把矩形OBCD面积平均分成两部分的直线的关系式和A点的坐标．
【解析】
（1）当0＜x≤2时，y=x2；
当2＜x≤4时，y=-2x+8；

（2）当x=1时，y=1；当x=3时，y=-2×3+8=2．
∴当x分别取1和3时，y的值分别是1和2；

（3）A（1，0）．因为矩形OBCD是中心对称图形，且对称中心为对角线的交点，设为M，
所以经过对称中心M的直线可把矩形OBCD的面积平均分成相等的两部分，求出M（2，1），
设所求直线关系式为y=kx+b（k≠0），把A（1，0），M（2，1）代入得k=1，b=-1，
所以y=x-1，即A（1，0）．
因为矩形OBCD是中心对称图形，且对称中心为对角线的交点，设为M，
所以经过对称中心M的直线可把矩形OBCD的面积平均分成相等的两部分，
求出M（2，1），因为直线y=ax-a过M（2，1），
所以1=2a-a．所以a=1，所以y=x-1．