Question

若x²-4x+1=0的两根为a，b，则a⁵+b⁵=    ．

Answer

首先利用根与系数的关系求出ab与a+b的值，再根据a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2求出a4+b4的值，根据a3+b3=（a+b）（a2+b2）-ab2-a2b求得a3+b3的值，然后根据a5+b5=（a+b）（a4+b4）-ab（a3+b3）解得答案．
【解析】
∵x2-4x+1=0的两根为a，b，
利用根与系数的关系得出：
∴ab=1，a+b=4，
∴（a+b）2=16，
∴a2+b2+2ab=16，
∴a2+b2=16-2ab=16-2=14，
∵a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=196-2×1=194，
∴a3+b3=（a+b）（a2+b2）-ab2-a2b=（a+b）（a2+b2）-ab（a+b）=4×14-1×4=52，
∴a5+b5=（a+b）（a4+b4）-ab（a3+b3）=4×194-1×52=724．
故答案为：724．