Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=：2，求⊙O的半径及DF的长．

Answer

（1）连接OD，根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠CDE=2∠B；
（2）连接AD，根据三角函数，求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长．
（1）证明：连接OD．
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． （2分）
又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD．                       （3分）
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B．                       （4分）

（2）【解析】
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．                         （5分）
∵BD：AB=，
∴，
∴∠B=30°．                          （6分）
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．                          （7分）
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=，
即⊙O的半径为．                 （8分）
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．                    （9分）
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=DF．
∴DF=2DE=10．                        （10分）