Question

（1）已知：如图，▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE=DF．
（2）已知等腰三角形内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为6，求底角的正切值．

Answer

（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后又由AE⊥BD，CF⊥BD，利用AAS，即可证得△ABE≌△CDF，则可证得BE=DF．
（2）首先根据题意作图，注意等腰三角形分为锐角三角形与钝角三角形两种情况，然后利用垂径定理与勾股定理，即可求得AD与BD的长，继而求得底角的正切值．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF．

（2）【解析】
①如图1：作AD⊥BC于D，连接OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=×6=3，
∴AD过圆心O，
∴OB=5，
在Rt△OBD中：OD==4，
∴AD=OD+OA=4+5=9，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD===3；
②如图2：作AD⊥BC于D，连接OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=×6=3，
∴AD过圆心O，
∴OB=5，
在Rt△OBD中：OD==4，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD==．
∴底角的正切值为3或．