Question

已知抛物线y=x²+x+4．
（1）求此抛物线对称轴与横轴交点A的坐标；
（2）设原点为O，在抛物线上任取点P，求三角形OAP的面积的最小值；
（3）若x为整数，在使得y为完全平方数的所有x的值中，设x的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）求a、b、c的值．

Answer

（1）先求出抛物线的对称轴，再根据x轴上点的坐标特点即可得出A点坐标；
（2）求出抛物线的顶点坐标，再根据三角形的面积公式解答即可；
（3）设x2+x+4=k2（k为非负整数），则有x2+x+4-k2=0，再由x为整数知其△为完全平方数，根据△的值即可求出p的值，进而可得出a、b、c的值．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+x+4的对称轴为x=-，
∴A点坐标为（，0）

（2）当x=-时，y=（-）2+（-）+4=，
此函数图象顶点坐标为（，），
当P为顶点时，△OAP的面积最小为××=；

（3）设x2+x+4=k2（k为非负整数），则有x2+x+4-k2=0，
由x为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出），
即1-4（4-k2）=p2（p为非负整数），
得（2k+p）（2k-p）=15，显然：2k+p＞2k-p，
所以或，解得p=7或p=1，
所以m=，得：x1=3，x2=-4，x3=0，x4=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．