Question

△PAB和△PMN是顶角相等的两个等腰三角形，PA=PB，PM=PN，PM≠PB．
（1）如图1，若P、B、M共线，判断AM=BN是否成立，并说明理由；
（2）将△PAB绕点P旋转角度α后（如图2），（1）中结论仍然成立吗？为什么？
（3）试用直尺和圆规在图2中作∠PAM和∠PBN的角平分线（不写作法，保留作图痕迹），分别交PM、PN于点C、D，连接CN、MD，试判断在旋转过程中线段CN和MD有怎样的大小关系，并对你的结论给予证明．

Answer

（1）证△PAM≌△PBN即可；
（2）①当a=180°-∠APB时，求出即可；②当a=180°-∠APB时，根据SAS证△PAM≌△PBN即可；
（3）①当α=180°-∠APB时，此时∠PAM和∠PBN的交平分线不存在，②当α≠180°-∠APB时，证△CPA≌△DPB，推出CP=DP，根据SAS证△MDP≌△NCP即可．
【解析】
（1）AM=BN成立．
理由：在△PAM和△PBN中，由已知有
PA=PB，∠MPA=∠NPB，PM=PN，
∴△PAM≌△PBN（SAS），
∴AM=BN．

（2）将△PAB绕点P旋转角度a后，AM=BN也能成立．
理由：①当a=180°-∠APB时，
恰好M、P、A共线，N、P、B也共线，有
AM=AP+PM=BP+PN=BN成立．
②当a=180°-∠APB时，
在△PAM和△PBN中，由题设有
PA=PB，PM=PN，
∵∠APB=∠MPN，
∴∠APB+α=∠MPN+α，
∴∠MPA=∠BPN，
∴△PAM≌△PBN（SAS），
∴AM=BN．

（3）在旋转过程中线段CN和MD的大小关系是CN=MD．
证明：①当α=180°-∠APB时，M、P、A共线，N、P、B共线，
此时∠PAM和∠PBN的交平分线不存在．
②当α≠180°-∠APB时，CN=MD，
证明：由（2）知△PAM≌△PBN，
∴∠MAP=∠NBP，
∵AC、BD分别是∠PAM何∠PBN的角平分线，
∴∠CAP=∠DBP，
∵PA=PB，
∴∠CPA=∠DPB，
∴△CPA≌△DPB，
∴CP=DP，
在△MDP和△NCP中，CP=DP，∠DPM=∠CPN，MP=NP，
∴△MDP≌△NCP，
∴CN=MD．