Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O半径为1，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC，它们分别与直线y=x交于点M、N，
（1）写出点M、D、N的坐标；
（2）抛物线过点M、D、N，它的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求cos∠BDF的值与EF的长．
（3）探索：将⊙O作怎样的平移，才能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上．

Answer

（1）根据⊙O半径为1，得出D点坐标，再利用CO=1，AO=1，点M、N在直线y=x上，即可求出答案；
（2）根据待定系数法求出抛物线的解析式，再利用配方法求出顶点坐标即可，再利用解直角三角形求出cos∠BDF的值；
（3）根据平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1），得出O′的坐标为（0，1）或（1，1），再利用当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O″的坐标为（n，-1），得出O″的坐标为（-1，-1）或（2，-1），再利用平移分析即可．
【解析】
（1）∵⊙O半径为1，
∴D（0，1），
∵过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC，它们分别与直线y=x交于点M、N，
CO=1，AO=1，
∴M（-1，-1）、N（1，1）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
∵点D、M、N在抛物线上．
∴得：，
解之，得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+1．
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∴．
连接BF，∠BFD=90°，
∴，
又，
∴，
∴．
在直角三角形DOE中，cos∠BDF=．

（3）∵⊙O半径为1，平移后的⊙O要与x轴相切且它的圆心O在抛物线上，
∴平移后的圆心O必在平行于x轴且到x轴的距离为1的直线与抛物线的交点上
当平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1）．
则-m2+m+1=1，
解得m1=0，m2=1，
∴O′的坐标为（0，1）或（1，1）
当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O″的坐标为（n，-1）．
则-n2+n+1=-1，
解得n1=-1，n2=2，
∴O″的坐标为（-1，-1）或（2，-1）
∴①将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位，能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
②将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移1个单位（或将⊙O沿着直线y=x的向上方向平移个单位），能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
③将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的负方向平移1个单位，（或将⊙O沿着直线y=x的向下方向平移个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
④将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移2个单位，（或将⊙O沿着直线的向下方向平移个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；