Question

将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=-2x+4．点B'是OA上的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若B'与点O重合，直接写出点C、D的坐标；
（2）若B'与点A重合，求点C、D的坐标；
（3）若B'D∥OB，求点C、D的坐标．

Answer

（1）B'与点O重合，则CD是△AOB的中位线，根据中点定义进行解答写出；
（2）B'与点A重合，则CD是AB的垂直平分线，点D坐标可以根据（1）求解，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BC=AC，然后设点C坐标为（0，m），分别用m表示出OC、AC的长度，再利用勾股定理列式求解即可求出m的值，从而点C的坐标便可求出；
（3）若B'D∥OB，根据两直线平行，内错角相等以及折叠前后两个图形能够完全重合的性质可以得到∠OCB'=∠CBD，再根据同位角相等两直线平行得到CB'∥BA，从而证明△COB'∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例，设OB'=x，然后表示出OC，在Rt△B'OC中，利用勾股定理列式计算即可求出x的值，再求出OC得到点C的坐标，利用直线AB的解析式求出点D的坐标．
【解析】
（1）C（0，2），D（1，2）；

（2）由y=-2x+4求得B（0，4），A（2，0）．
如图①，折叠后点B与点A重合，
则△ACD≌△BCD，BD=DA．
由（1）得D的坐标为（1，2）
设点C的坐标为（0，m）（m＞0）．
则BC=OB-OC=4-m．
于是AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，
即（4-m）2=m2+22，
解得．
∴点C的坐标为，D的坐标为（1，2）．

（3）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B'，
且B'D∥OB．
则△B'CD≌△BCD，∠OCB'=∠CB'D．
又∵∠CBD=∠CB'D，
∴∠OCB'=∠CBD，有CB'∥BA．
∴Rt△COB'∽Rt△BOA．
有，得OC=2OB'．
在Rt△B'OC中，
设OB'=x（x＞0），则OC=2x．
则B'C=BC=OB-OC=4-2x，
在Rt△B'OC中，由勾股定理，得B'C2=OC2+OB'2．
∴（4-2x）2=（2x）2+x2，
得x2+16x-16=0，
解得．
∵x＞0，
∴．
∴点C的坐标为．
∵B'D∥OB
则可得点D的横坐标为．
设点D的纵坐标为n．
∵点D在直线y=-2x+4上，
∴，
∴点D的坐标为．