Question

已知：抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）、B（-2，-5），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）某直线过点A（-1，0），且与抛物线只有一个交点，求此直线的解析式；
（3）直线l过点C，且l∥x轴，E为l上一个动点，EF⊥x轴于F．求使DE+EF+BF的和为最小值的E、F两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF的最小值．

Answer

（1）将A（-1，0）、B（-2，-5）两点坐标代入y=-x2+bx+c即可求得该抛物线的解析式；
（2）设直线解析式为y=kx+m，要想使直线与抛物线只有一个交点，方程x2+（k-2）x+k-3=0有两个相等的实数根，解方程即可得出直线的解析式；
（3）先求出D点坐标，将D向下平移3个单位得D′点，求出直线BD′的解析式，便可求出F点坐标，进而求得E点坐标，可得DE+EF+BF的最小值是．
【解析】
（1）根据题意，得：，
解得：，
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）①若所求直线与y轴相交，设其解析式为y=kx+m（k≠0），
∵直线过A（-1，0），
∴m=k，
∴y=kx+k，
∵直线y=kx+k与抛物线y=-x2+2x+3只有一个交点，
∴方程kx+k=-x2+2x+3有两个相等的实数根，
即方程x2+（k-2）x+k-3=0有两个相等的实数根，
∴△=k2-8k+16=0，
∴k1=k2=4，
∴直线的解析式为y=4x+4，
②若所求直线与y轴平行，所求直线为x=-1，
综上所述，所求直线的解析式为y=4x+4或x=-1；

（3）抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标为D（1，4），与y轴交点C（0，3）．
把点D（1，4）向下平移3个单位，得到D′（1，1），
连接BD′交x轴于点F，
过点F作FE⊥直线l于E，则E、F两点为所求．
设直线BD′的解析式为：y=ax+n（a≠0）
则，
解得：，
∴直线BD′的解析式为：y=2x-1，
∴直线BD′与x轴的交点F（，0），
∵EF⊥x轴，EF=3，
∴E（），
∴DE+EF+BF的最小值是．