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在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,...

在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.

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(1)先作AK⊥BC于K,FG⊥BC于G,根据等腰梯形的性质,可得BK=(BC-AD)=3,在Rt△ABK中,利用勾股定理可求出AK=4,由于AK、FG垂直于同一直线故平行,可得比例线段,求出FG=,利用面积公式可得S△BEF=-x2+x(7≤x≤10,因为BF最大取5,故BE最小取7,又不能超过10); (2)根据题意,结合(1)中面积的表达式,可以得到S梯形ABCD=-x2+x,即14=-x2+x,解得,x1=7,x2=5(不合题意,舍去); (3)仍然按照(1)和(2)的步骤和方法去做就可以了,注意不是分成相等的两份,而是1:2就可以了,得到关于x的一元二次方程,先求出根的判别式△,由于△<0,故不存在实数根. 【解析】 (1)由已知条件得: 梯形周长为24,高4,面积为28. 过点F作FG⊥BC于G ∴BK=(BC-AD)=×(10-4)=3, ∴AK==4, ∵EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x, ∴BF=12-x, 过点A作AK⊥BC于K ∴△BFG∽△BAK, ∴, 即:, 则可得:FG=×4 ∴S△BEF=BE•FG=-x2+x(7≤x≤10);(3分) (2)存在(1分) 由(1)得:-x2+x=14, x2-12x+35=0, (x-7)(x-5)=0, 解得x1=7,x2=5(不合题意舍去) ∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7; (3)不存在(1分) 假设存在,第一种情况:显然是:S△BEF:SAFECD=1:2,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:2(1分), 梯形ABCD周长的三分之一为=8,面积的三分之一为.因为BE=X, 所以BF=(8-X) ∵FM∥AH, ∴△FBM∽△ABH, ∴BF:AB=FM:AH, ∴=, ∴FM=, ∴△BEF的面积=, 当 梯形ABCD的面积=时, ∴=, 整理方程得:-3x2+24x-70=0, △=576-840<0 ∴不存在这样的实数x. 即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积. 同时分成1:2的两部分.(2分) 第二种情况:显然是:S△BEF:SAFECD=2:1,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=2:1(1分), 梯形ABCD周长的三分之一为=8,面积的三分之一为.因为BE=x, 所以BF=(8-x) ∵FM∥AH, ∴△FBM∽△ABH, ∴BF:AB=FM:AH, ∴, ∴FM=, ∴△BEF的面积=, 当 梯形ABCD的面积=时, ∴=, 整理方程得:3x2-24x+140=0, △<0 ∴不存在这样的实数x. 即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积. 同时分成1:2的两部分.
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考点分析:
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下表是五爱中学初一(1)班40位同学在“献爱心”活动中捐的图书情况记录(单位:册)
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 11 1012 10 12 
 12 310 11 12 
 212 12 11 
 1210 10 12 
(1)现需要将该班同学捐图书的情况,报告少先队大队部,请你给出一种表示这些数据的方案,使大队部一目了然知道整个情况;
(2)从(1)的方案中,请你至少写出三条获得的信息;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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