Question

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（与点B、C不重合），连接AE交对角线BD于点F，AE的延长线与DC的延长线相交于点G，连接FC．求证：
（1）∠BEF=∠DCF；
（2）AF²=FE•FG．

Answer

（1）利用已知首先证明△ADF≌△CDF，进而得出∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠BEF，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出∠CGE=∠FCE，进而证明△FCE∽△FGC，即可得出答案．
【解析】
（1）∵在正方形ABCD中，对角线BD，
∴∠BDA=∠BDC，
在△ADF与△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠DAF=∠BEF，
∴∠BEF=∠DCF；

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CGE，
∵∠BEF=∠DCF；
∵∠BAE=90°-∠DAF，∠FCE=90°-∠DCF，
∴∠BAE=∠FCE，
∴∠CGE=∠FCE，
∴△FCE∽△FGC，
∴，
∵FC=AF，
∴AF2=FE•FG．