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△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm.长为1cm的线段MN在△A...

△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm.长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合).过M,N分别作AB的垂线交直角边于P,Q两点,线段MN运动的时间为ts.
(1)若△AMP的面积为y,写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围);
(2)线段MN运动过程中,四边形MNQP有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时t的值;若不可能,说明理由;
(3)t为何值时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?

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(1)分两种情况,点P可以在AC上时和当点P在BC上时,利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM,AM,再用S△APM=AM•PM得出y与t的函数关系式, (2)当PM=QN时,四边形MNQP为矩形,建立含t的方程,求得t的值, (3)以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况,△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC,分别相似三角形的判定和性质,求得相对应的t的值. 【解析】 (1)当点P在AC上时,∵AM=t,∴PM=AM•tan60°=t. ∴y=t•t=t2(0≤t≤1). 当点P在BC上时,PM=BM•tan30°=(4-t). y=t•(4-t)=-t2+t(1≤t≤3). (2)∵AC=2,∴AB=4.∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t. ∴QN=BN•tan30°=(3-t). 由条件知,若四边形MNQP为矩形,需PM=QN,即t=(3-t), ∴t=.∴当t=s时,四边形MNQP为矩形. (3)由(2)知,当t=s时,四边形MNQP为矩形,此时PQ∥AB, ∴△PQC∽△ABC. 除此之外,当∠CPQ=∠B=30°时,△QPC∽△ABC,此时=tan30°=. ∵=cos60°=, ∴AP=2AM=2t. ∴CP=2-2t. ∵=cos30°=, ∴BQ=(3-t). 又∵BC=2, ∴CQ=2. ∴,. ∴当s或s时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
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考点分析:
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(1)求m的值;
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(1)求CE的长;
(2)过点D作DF∥BC交⊙O于点F,求DF的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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