Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F．
（1）若DE=2，求cos∠ABF的值；
（2）设AE=x，BF=y，①求y关于x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；②问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由．
（3）当△AEB为等腰三角形时，求BF的长．

Answer

（1）直接根据相似三角形的判定得出△ABF∽△EDA，再利用成比例线段可知 ==，即可得出答案；
（2）①直接利用（1）中结果表示为：y=；②其利用其单调性可知：y随x的增大而减小．
（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：a、当AB=BE时，BF=b、当AE=BE时，BF=c、当AB=AE=5时，BF=AD=3．
【解析】
（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，∠AFB=90°，
∵∠D=∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=，
∴cos∠ABF===；

（2）根据（1）可知：
①=即y=；
②减小，因为y=中，每个象限内，y随x的增大而减小；

（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：
a、当AB=BE时，则BE=5，则CE==4，∴DE═5-4=1，
∴AE==，
∴AF=，
∴BF=；
b、当AE=BE时，E为CD中点，则DE=2.5，AE=，
∵AD•AB=BF•AE，
∴3×5=BF×，
∴BF=；
c、当AB=AE=5时，△ABF≌△AED，则BF=AD=3．
所以BF的值为：或 或3．