Question

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，设点P的横坐标为x，试用含x的代数式表示△APE的面积S；
（3）在（2）的条件下，点G为第一象限内的该抛物线上的一个动点，对于S的一个确定的值，始终存在点G，满足△AGC的面积与（2）中△APE的面积相等，求符合题意的点G的横坐标的取值范围．

Answer

（1）根据C（6，0），B（-3，0），运用交点式求出二次函数解析式；
（2）利用相似三角形的性质得出S△PCE=，进而求出△APE的面积S；
（3）表示出S△AGC=GH•CO=-x2+6x，进而求出x的取值范围．
（1）由题意得，A（0，6），C（6，0），B（-3，0），
【解析】
设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-6），
解得：a=-，
∴y=-（x+3）（x-6），
=-x2+x+6，

（2）如图，∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴，
，
∴S△PCE=，
∴S=S△APC-S△PCE=-x2+x+6，
=-（x-）2+，
（当x=时，S有最大值为）；
故S的取值范围是：0＜S≤，（-3＜x＜6）；
（3）设G（x，-x2+x+6）
过G作GH∥y轴交直线AC于点H，
易得直线AC：y=-x+6，
∴H（x，-x+6）
∴GH=-x2+x+6-（-x+6）=-x2+2x，
∴S△AGC=GH•CO=-x2+6x=-（x-3）2+9，
故S△AGC的取值范围是：0＜S△AGC≤9，（0＜x＜6）；
当S△AGC=时，-x2+6x=，
解得：x1=，x2=，
∴点G的横坐标x的取值范围是0＜x≤或≤x＜6时．