Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，点D、E从点C同时出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿着射线CB向右移动，以DE为一边在直线BC的上方作等边△DEF，连接CF，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）△DEF的边长为______（用含有t的代数式表示），当t=______秒时，点F落在AB上；
（2）t为何值时，以点A为圆心，AF为半径的圆与△CDF的边所在的直线相切？
（3）设点F关于直线AB的对称点为G，在△DEF运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①根据运动的时间和速度，即可推出CD，CE的长度，便可推出边长DE的长度，②根据题意推出CF的长度，然后通过求∠CEF=60°，∠FCD=30°推出直角三角形，最后根据∠CEF的正切值推出t的值，（2）首先根据题意画出图形，然后逐个进行讨论解答，①当⊙A与DF相切，通过求证△ACD≌△AFD，即可推出此时BC与⊙A相切于点C，然后通过直角三角形中特殊角的函数值，即可推出t的值，②若⊙A与CF相切，根据（1）中已求证的结论，结合直角三角形中特殊角的函数值，即可推出t的取值，（3）分情况进行讨论，①若GE∥AC时，四边形ACEG为梯形，连接FH，通过相关角的度数关系推出CF，FH在同一条直线上，然后通过求证△ACB∽△HFE，推出，即可推出t的值；②若AG∥CE时，四边形ACEG为梯形，连接AF，FG，根据对称的性质，即可推出△AFM≌△AGM，即得∠FAM=∠GAM，∠AFM=∠AGM，便可知∠AFE=90°，通过A，F，E在同一条直线上，推出△ACE是Rt△，最后根据直角三角形中特殊角的函数值即可推出t的值．
【解析】
（1）①∵点D、E从点C同时出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度移动，
设点D、E运动的时间为t秒，
∴CD=1t=t，CE=2t，
∴DE=CE-CD=2t-t=t，
∵等边△DEF，
∴DE=DF=EF=t，即边长为t，
②当F在AB上时，
∵DE=t，
∴CD=DE=EF=DF=t，
∵等边△DEF，
∴∠FDE=60°，
∴∠FCD=30°，
∴∠ACF=60°，
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴当F在AB，CF=AF=BF，
∵BC=6，
∴AB=4，AC=2，
∴CF=2，
∵∠CEF=60°，
∴CF⊥EF，
∴sin60°==，
∵CE=2t，
∴，
∴t=2，

（2）①当⊙A与DF相切，连接AD，
∵⊙A与DF相切，
∴AB⊥DF，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACD=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，AC=AF，
∴△ACD≌△AFD（HL），
∴AF=AC，
∴BC与⊙A相切于点C，
∵AC=2，∠FDB=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD=t，
∴tan60°==，
∴t=2（3分）
②若⊙A与CF相切，
∴CF⊥AF，
∵AC=2，∠ACF=60°，
∴cos60°==，
∴CF=，
∵∠FCE=30°，∠FEC=60°，
∴EF⊥CF，
∴cos30°==，
∵CE=2t，
∴，
∴t=1，

（3）当t=1.5或t=1时，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形，
①如图：若GE∥AC时，四边形ACEG为梯形，
连接FH，
∵AC⊥BC，
∴GE⊥BC，
∵∠B=30°，
∴∠G=30°，
∵F、G两点关于AB成对称点，
∴∠GFH=30°，
∵∠FEC=60°，
∴∠FEG=30°，
∴∠GFE=120°，
∴∠HFE=90°，
∵∠CFD=60°，∠DEF=30°，
∴∠CFH=180°，即CF，FH在同一条直线上，
∵∠ACF=∠A=60°，∠FCB=∠B=30°，
∴CH=AH=HB，
∵AB=4，
∴CH=AH=HB=2，
∴HE=，
∵∠FEH=∠B=30°，∠ACB=∠HFE=90°，
∴△ACB∽△HFE，
∴，
∵AB=4，BC=6，
∴HE=，EF=t，
∴t=1.5

②若AG∥CE时，四边形ACEG为梯形，
连接AF，FG，设与AB交于M点，
∵G，F两点关于AB对称，
∴AF=AG，FM=GM，AB⊥FG，
∴△AFM≌△AGM，
∴∠FAM=∠GAM，∠AFM=∠AGM，
∵AG∥BC，
∴∠B=∠GAM=30°，
∴∠FAM=30°，
∴∠AFM=60°，
∵∠FED=60°，∠B=30°，
∴∠FEB=120°，
∵在四边形MFEB中，∠FMB=90°，
∴∠FEB=120°，
∵∠CFE=90°，∠AFM=60°，
∴∠AFE=180°，
∴A，F，E在同一条直线上，
∵∠AFC=90°，
∴△ACE是直角三角形，
∵∠CEF=60°，
∴tan60°==，即，
∴t=1．
③如备用图：
，
当t=时，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形．
综上可得当t=1.5或t=1或时，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形．