Question

已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．
（1）当点A、D重合，即a=0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示）
（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，
①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示）
②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．

Answer

（1）由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得，根据比例变形，即可求得EF的值；
（2）①连接BD，与EF交于点H，由（1）知，HF=，EH=，又由EF=EH+HF，即可求得EF的值；
②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF=与GC=BC-BG，即可求得EF的值．
【解析】
（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，（1分）
∵，
∴，（1分）
又BC=b，
∴，
∴EF=；（1分）

（2）①【解析】
如图2，连接BD，与EF交于点H，
由（1）知，HF=，EH=，（2分）
∵EF=EH+HF，
∴EF=；（1分）

②猜想：EF=，（1分）
证明：连接DE，并延长DE交BC于G，
由已知得：BG=，（1分
EF=，（1分）
∵GC=BC-BG，
∴EF=（BC-BG）=．