Question

如图1所示，一张半圆形纸片，直径AB=10，点C是半圆上的一个动点．沿半径CO把这张纸片剪出△AC₁O₁和△BC₂O₂两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC₁O₁沿直线O₂B（AB）方向平移（点A，O₁，O₂，B始终在同一直线上），当点O₁与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁O₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂O₂，BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁O₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的O₁E与O₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若∠CAB=30°，设平移距离O₁O₂为x，△AC₁O₁与△BC₂O₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原△ABC面积的．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据平移的性质，得O1B=O2A，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（2）根据30°直角三角形的性质、相似三角形的性质进行求解；
（3）在（2）的基础上解一元二次方程即可．
【解析】
（1）O1E=O2F．理由如下：
∵O1E∥O2C2，
∴，
同理，
根据平移的性质，知O1B=O2A，
∴O1E=O2F．

（2）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴∠APB=90°．
在直角三角形APB中，AB=10-x，
则BP=AB=5-x，
则AP=5-x．
则直角三角形APB的面积是．
∵O1E∥O2C2，
∴=，
则S△O1EB=，
则y=-2×=-+x（0≤x≤5）．

（3）根据题意，得-+x=×，
解，得x=或5．