Question

已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A，B），过点P作半圆O的切线分别交过A，B两点的切线于D，C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP•PC为定值；④PA为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（ ）

A．①②
B．②④
C．①③④
D．②③④

Answer

①由DA，DP，CP，CB为圆O的切线，根据切线性质得到DA与AB垂直，CB与AB垂直，根据同旁内角互补得到AD与BC平行，由两直线平行得到两对内错角相等，进而得到三角形AND与三角形BCN相似，根据相似得比例，等量代换后得到CP：DP=BN：DN，运用比例线段得到NP与BC平行，又BC与AD平行，故NP与AB平行，又DP与AN不平行，根据梯形定义可得ANPD为梯形；
②没有依据；
③连接OP，OD，OC，利用“HL”得到直角三角形AOD与POD全等，同理三角形BOC与三角形POC全等，进而得到对应角相等，由平角定义，利用等量代换得到∠COD为直角，又根据切线性质得到OP与CD垂直，根据两三角形相似得到OP2=DP•PC，而OP为圆O的半径，为定值，故DP•PC为定值；
④由选项①得到的NP与AD平行，得到内错角相等，再根据切线长相等及等边对等角得到一对角相等，等量代换得∠APN=∠APD，故PA为∠NPD的角平分线．
【解析】
①因为DA、DP、CP、CB为⊙O切线，故DA⊥AB，CB⊥AB．
于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．
∴∠CAD=∠NCB，∠ADN=∠DBC，
∴△AND∽△CNB，
∴==，
∴NP∥BC，
故NP∥AD，又AN与DP相交，
∴四边形ANPD是梯形，本选项正确；
②不能确定；
③连接OP，OD，OC，如图所示：

由DA，DP为圆O的切线，
∴∠OAD=∠OPD=90°，
在直角三角形OAD和OPD中，
DA=DP，OD=OD，
∴△OAD≌△OPD，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠POC=∠BOC，
∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°，
∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°，又OP⊥CD，
∴∠POD+∠POC=90°，∠POD+∠ODP=90°，
∴∠ODP=∠POC，同理∠POD=∠PCO，
∴△OPD∽△CPO，又AD=DP，CB=CP，
∴=，即OP2=DP•PC，
∵OP为圆O的半径，为定值，故DP•PC为定值，本选项正确；
④因为DA=DP，所以∠DAP=∠DPA．
因为NP∥AD，所以∠NPA=∠DAP．
所以∠DPA=∠NPA．
PA为∠NPD的平分线．
则一定成立的选项有：①③④．
故答案为：①③④．