Question

如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下四个结论：①MN∥AB；②；③．④AB=2MN；其中正确的结论有    （填写序号即可）

Answer

（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
（4）根据③直接得出MN≠AB．
【解析】
（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴，
设 =k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴△EMN∽△EAC，
∴==，
==，
∴+=1，
∴=+；

（3）∵=+，
∴MN==，
设AB=a（常数），AC=x，
则MN=x（a-x）=-（x-a）2+a≤a；

（4）由③得出MN≠AB，故④错误．
故答案为：①②③．