Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（3，1）、B（m，-3）两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）若经过点A、B的抛物线与y轴相交于点C，且△ABC的面积为12，求点C的坐标及此抛物线的解析式．

Answer

（1）将两点代入反比例函数解析式即可得出m和n的值，从而求出反比例函数的解析式和B点坐标，进而把A、B点的坐标代入一次函数y=kx+b的解析式，就可求出k、b的值；
（2）设C的坐标为（0，c），令一次函数解析式中的x=0求出y的值，确定出点D的坐标，由y轴把△ABC分成两部分△ACD和△BCD，都以|OD|为底，点A和点B点横坐标的绝对值为高，利用三角形的面积公式分别表示出△ACD和△BCD，两面积相加等于△ABC的面积即等于12列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，从而得到点C的坐标，设出过A，B及C三点的抛物线解析式，将三点坐标代入得到关于a，b及c的三元一次方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，确定出抛物线的解析式．
【解析】
（1）把A（3，1）代入反比例解析式中得：n=3，
∴反比例解析式为y=，
把B（m，-3）代入反比例解析式中得：m=-1，即B（-1，-3），
把A（3，1）和B（-1，-3）代入一次函数y=kx+b得：
，①-②得：4k=4，解得：k=1，
把k=1代入②得：-1+b=-3，解得：b=-2，
∴一次函数解析式为y=x-2；

（2）设点C坐标为（0，c），
令y=x-2中x=0，解得：y=-2，则点D（0，-2），
根据题意得：S△ABC=S△ACD+S△BCD，
即|c+2|•3+|c+2|•|-1|=12，
化简得：|c+2|=6，即c+2=6或c+2=-6，
解得：c=4或c=-8，
故C（0，4）或C（0，-8），又A（3，1），B（-1，-3），
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
当C（0，4）时，把三点坐标代入得：，
解得：；
当C（0，-8）时，把三点坐标代入得：，
解得：．
∴抛物线解析式为：y=-2x2+5x+4或．