Question

已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．
（1）若t=2时，求证：△DBA∽△PBQ；
（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；
（3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当t=2时，根据P，Q的速度，我们可得出BP=2，BQ=1那么BP：BQ=2：1，而一直了BD=2AB，因此BP，BQ与BD，BA对应相等，△BPQ与△BDA又共用了这两组对应边的夹角，因此两三角形相似；
（2）求三角形的面积就要知道三角形的底边和高的长，根据P，Q的速度，我们可以用t表示出BP，BQ的长，如果过Q作BP边的高，那么根据BQ和∠ABD的正弦值即可得出BP边上的高是多少，然后可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；
（3）要按底角的不同来分类讨论：
①当∠QBM，∠BMQ为等腰三角形的底角时，根据AE平分∠ABD，那么这两个角就都应该是30°，此时△QBM的外角∠AQM=60°，就与∠ABD相等，显然这种情况是不成立的；
②当∠QBM，∠BQM为等腰三角形的底角时，由于这两个角都是30°，那么∠QPB就是个直角，那么我们可在直角△QPB中，我们可根据∠ABD的余弦函数得出BQ，BP的比例关系，然后我们可用t表示出BQ，BP即可得出t的值；
③当∠BQM，∠BMQ为等腰三角形的底角时，那么这两个角就都应该是75°，我们可通过构建直角三角形来求t的值，过Q作QF垂直BD于F，那么我们可将三角形BQP分成两个含特殊角的直角三角形，一个是含30°，60°角的直角三角形，一个是等腰直角三角形．那么我们可根据这些特殊角得出BQ，QF，BF，PF之间的关系，然后分别用t表示出来，根据BP=BF+PF，将等值的线段替换后即可得出t的值．
【解析】
（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）过点Q作△PBQ的高h，
则S△PBQ=PB•h=-t2+2t=-（t-2）2+2，
∴当t=2时，Smax=2；

（3）分三种情况讨论：
①当∠QBM=∠BMQ=30°时，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴与题意矛盾，不存在；
②当∠QBM=∠BQM=30°时，如图，则
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=≤4；
③当∠BQM=∠BMQ=75°时，如图，
作QF⊥BP，则：PB=BF+PF=BF+QF=t+t=8-2t，
得：t==≤4，
∴当t=或t=时，△BQM成为等腰三角形．