Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM，
求证：（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．

Answer

（1）根据平行四边形的对边相等且平行，可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质可得：∠E=∠ECD，又因为AM=DM，∠AME=∠DMC，可证得△AEM≌△DCM，即可证得AE=AB；
（2）由AD∥BC，可得∠AMB=∠MBC，又因为BM平分∠ABC，可得∠AMB=∠ABM，即可得AB=AM，因为AE=AB，所以AB=AM=AE，易得∠BME=90°，即可证得BM⊥CE．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠E=∠ECD，
又∵AM=DM，∠AME=∠DMC，
∴△AEM≌△DCM，
∴CD=AE，
∴AE=AB；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠MBC，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
∵AB=AE，
∴AM=AE，
∴∠E=∠AME，
∵∠E+∠EBM+∠BMA+∠AME=180°，
∴∠BME=90°，
即BM⊥CE．