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如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(-1,0),B(0,),O...

如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(-1,0),B(0,manfen5.com 满分网),O(0,0),将此三角板绕原点O顺时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)如图,一抛物线经过点A,B,B′,求该抛物线解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值.

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(1)已知A,B,C三点的坐标,就可以得到OB的长,而OB′=OB=,因而B′的坐标就可以得到是(,0),已知A,B,B′的坐标,根据待定系数法就可以求出函数的解析式. (2)S四边形PBAB′=S△BAO+S△PBO+S△POB′,△OAB的面积是一个定值,不变,OB,OB′的长度可以求出,△BAO的边OB上的高是P点的横坐标,而△POB′,OB′边上的高是P的纵坐标,设P(x,y),则△BAO和△POB′的面积都可以用x,y表示出来,从而得到函数解析式.使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标,就是求函数的最值问题,可以根据函数的性质得到. 【解析】 (1)∵抛物线过A(-1,0),B′(,0) 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-)(a≠0) 又∵抛物线过B(0,), ∴将坐标代入上解析式得 =a×(-) 即a=-1 ∴y=-(x+1)(x-) 即满足件的抛物线解析式为y=-x2+(-1)x+. (2)(解法一):如图1 ∵P为第一象限内抛物线上一动点 设P(x,y)则x>0,y>0 P点坐标满足y=-x2+(-1)x+ 连接PB,PO,PB′ ∴S四边形PBAB′=S△BAO+S△PBO+S△POB′ =+x+y=(x+y+1) =[x-x2+(-1)x++1]=[-(x-)2+] 当x=时,S四边形PBAB′最大, 此时,y=.即当动点P的坐标为(,)时, S四边形PBAB′最大,最大面积为. (解法二):如图2,连接BB′ ∵P为第一象限内抛物线上一动点 ∴S四边形PBAB′=S△ABB′+S△PBB′,且△ABB′的面积为定值 ∴S四边形PBAB′最大时S△PBB′必须最大 ∵BB′长度为定值 ∴S△PBB′最大时点P到BB′的距离最大 即将直线BB′向上平移到与抛物线有唯一交点时, P到BB′的距离最大. 设与直线BB′平行的直线l的解析式为y=-x+m 联立 得x2-x+m-=0 令△=()2-4(m-)=0 解得m=+ 此时直线l的解析式为y=-x++ ∵ 解得 ∴直线l与抛物线唯一交点坐标为P(,) 设l与y轴交于E,则BE=+-= 过B作BF⊥l于F 在Rt△BEF中,∠FEB=45° ∴BF=sin45°= 过P作PG⊥BB′于G 则P到BB′的距离d=BF= 此时四边形PBAB′的面积最大 ∴S四边形PBAB′的最大值=AB′•OB+BB′•d=(+1)×+××=.
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考点分析:
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芜湖市1985年~2008年各年度专利数一览表
年度专利数年度专利数年度专利数年度专利数
19851991211997562003138
198621992271998552004165
1987319933219991102005184
198881994222000712006194
198991995192001602007702
19901319963620027120081006
(1)请你根据以上专利数数据,求出该组数据的中位数为______;极差为______
(2)请用折线图描述2001年~2008年各年度的专利数;
(3)请你根据这组数据,说出你得到的信息.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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