Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴的交点为C（0，2），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO，若S_△AOB=4．
（1）求直线AB的解析式和反比例函数的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

Answer

（1）首先根据已知条件知OC=2．而点B（2，n）在第一象限内，S△AOB=4，由此得到，利用这个等式可以求出OA=2，也就求出点A的坐标，然后设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用点A，C的坐标根据待定系数法即可确定直线AB的解析式，而点B（2，n）在直线AB上，由此可以得到n=4，再利用待定系数法就可以确定反比例函数的解析式；
（2）过点O作OD⊥AB于D，BE⊥y轴于E，根据已知条件和勾股定理可以分别得到，，，最后利用三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．
【解析】
（1）由C（0，2），得OC=2．
∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB=4．
∴．
∴OA=2．
∴点A的坐标是（-2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将点A，C的坐标分别代入，得，
解得
∴直线AB的解析式为y=x+2．（2分）
∵点B（2，n）在直线AB上，
∴n=4
设反比例函数的解析式为．
将点B的坐标代入，得，
∴k=8．
故反比例函数的解析式为：；

（2）过点O作OD⊥AB于D．
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（-2，0），
∴OA=OC=2，∠OCA=45°，
∴OD=CD=，
∵B（2，4），C（0，2），
∴BC=2，
∴BD=BC+CD=2+=3，
∴．