Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，，点D是上一个动点，连接AD、CD和BD，BD与AC相交于点E，过点C作PC⊥CD于C，PC与BD相交于点P，连接OP和AP．
（1）求证：AD=BP；
（2）如图1，若，求证：DC∥AP；
（3）如图2，设AD=x，四边形APCD的面积为y，求y与x之间的关系式．

Answer

（1）根据PC与CD垂直，由垂直定义得到∠PCD为直角，又AB为圆的直径，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADB也为直角，根据同角的余角相等得到∠ACD与∠BCP相等，又AC=BC得到三角形ABC为等腰直角三角形，进而得到∠CAB=45°，根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDP=45°，即三角形DCP为等腰直角三角形，所以CD=CP，利用”SAS“即可得到三角形ACD与三角形BCP全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD=PB；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD，则tan∠ACD=tan=∠ABD，在直角三角形ABD中，由正切函数定义得到AD等于BD的一半，由（1）得到AD=PB代入比例式得到P为BD中点，即AP为直角三角形ABD斜边上的中线，则AP=DP，所以三角形ADP为等腰直角三角形，所以∠APD=45°，又∠CDP=45°，得到一对内错角相等，从而得到两直线平行，得证；
（3）四边形APBC的面积可以分为三角形ACD和三角形APC的面积之和，而三角形ACD与三角形BCP全等，故四边形的面积可以等于三角形BCP和三角形APC的面积之和，即三角形ABC的面积减去三角形ABP的面积，而P为BD中点，根据等底同高得到三角形ABP的面积与三角形ADP的面积相等，从而得到四边形的面积等于三角形ABC的面积减去三角形ADP的面积，然后由这两个三角形都为等腰直角三角形且直角边分别为5和x，利用三角形的面积公式即可表示出y与x的函数关系式，同时求出自变量x的范围．
（1）证明：∵PC⊥CD，AB为⊙O的直径，
∴∠DCP=∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠DCP=∠ACD+∠ACP，∠ACB=∠ACP+∠BCP，
∴∠ACD=∠BCP，
∵AC=BC，且∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BDC=∠BAC=45°，
∴△DCP是等腰直角三角形
∴DC=PC，又∠ACD=∠BCP，AC=BC，
∴△ADC≌△BPC，
∴AD=BP；（3分）

（2）证明：∵∠ABD=∠ACD，
∴（4分）
∴，∴，
∴P是BD的中点，（5分）
∴AD=PB=PD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，又∠BDC=45°，
∴∠APD=∠BDC，
∴DC∥AP；（6分）

（3）【解析】
∵△ADC≌△BPC，∴S△ACD=S△BCP，
又∵S△ABP=S△ADP，△ADP为等腰直角三角形，AD=DP=x，
∴S△ADP=，
∵，△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC=×5×5=25，
则y=S△ACP+S△ACD=S△ACP+S△BCP
=S△ABC-S△ABP
=S△ABC-S△ADP
=（）（7分）