Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次方程y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点距离之差最大？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得该抛物线的解析式．
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，若P到B、C的距离差最大，那么P点必为直线AC与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AC的解析式，联立抛物线对称轴方程，即可得到点P的坐标．
【解析】
（1）将C（0，-3）代入y=ax2+bx+c中，得到c=-3．（1分）
将c=-3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c中，
得，9a+3b-3=0，
∴3a+b-1=0①（2分）
∵x=1是对称轴，
∴，（3分）
∵b=-2a，②
将②代入①的a=1，
∴b=-2，
∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3．（4分）

（2）∵P在抛物线的对称轴上，又A、B是关于抛物线的对称轴对称，
∴PB=PA，即：|PB-PC|=|PA-PC|，
（根据对称性，求P到B和C的距离之差就是求P到A和C的距离之差）
∴P、C、A三点共线的时候这个差最大．（6分）
∵C点的坐标是（0，-3），A点的坐标是（-1，0），
∴直线AC的解析式是y=-3x-3；
又因为对称轴为x=1，
所以点P坐标是（1，-6）．（8分）