Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，交⊙O于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）当∠ABC满足什么条件时，AC是⊙O的切线？说明理由．

Answer

（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可证明；
（2）由于AB是⊙O的直径，根据切线的判定，得出∠BAC=90°，又由（1）知AB=AC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可得出∠ABC的度数．
（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）【解析】
当∠ABC=45°时，AC是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线，
故当∠ABC=45°时，AC是⊙O的切线．