Question

如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，与x轴交于0、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
（2）当矩形ABCD的周长为最大值时，将矩形绕它的中心顺时针方向旋转90°，求点D的坐标；
（3）连接OP，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外）使△OPQ是等腰三角形？若存在，写出点Q到y轴的距离；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．
（2）设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法求出x的值，从而得到点A、B、C、D的坐标，再找出矩形ABCD的中心，根据旋转的性质即可确定点D的坐标；
（3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底．当OP是底时，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，先求出OP的中点E的坐标，设OQ与x轴相交于点E，根据相似三角形对应边成比例求出OE的长度，也就知道了点F的坐标，然后利用待定系数法求出OP的垂直平分线EF的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可求出点Q的横坐标，从而点Q到y的距离可得．
【解析】
（1）根据题意，得P（2，4），M（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
过点M（4，0），
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）2+4=4x-x2；

（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．
矩形ABCD的周长=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x2）]=2（-x2+2x+4）=-2（x-1）2+10，
当x=1时，矩形ABCD的周长的最大值=10，
此时，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐标为（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴点D的坐标为（3.5，2.5）；

（3）存在．
若OP当底，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，
如图，设OP的中点为E，OP的垂直平分线交x轴于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
∵P（2，4），
∴点E的坐标是（1，2），G点的坐标是G（1，0），
∴OE==，OG=1，
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴=，
即=，
解得OF=5，
∴点F的坐标为（5，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴y=-x+，
∴，
解得x=，
∴点Q到y轴的距离是或．