Question

如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a； 为了要让铁片能穿过直径为的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；
（1）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是______，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；
（2）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；
①当BE=DF=时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围______

Answer

（1）利用四条边相等的四边形为矩形来判定四边形为菱形，然后利用面积相等来求得菱形一边的高，与已知数据比较后判断是否能通过．
（2）利用两三角形相似得到比例线段，进而求出点A到EF的距离，然后与已知线段比较，从而判定能否通过．
【解析】
（1）是菱形，
如图，过点M作MG⊥NP于点G，
∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵，
MN=，
∴MG=，
∴此时铁片能穿过圆孔；

（2）①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K，
显然AB=，
故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔，
过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，
∵BE=AK=，EK=AB=a，AF=，
∴KF=，EF=，
∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，
∴△AHF∽△EKF，
∴，可得AH=，
∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔；
②或．