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操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点...

操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图1,2,3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.
研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系,并结合图2加以证明;
(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图4加以证明.
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(1)因为△ABC是等腰直角三角形,所以连接PC,容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形.连接CP,就可以证明△CDP≌△BEP,再根据全等三角形的对应边相等,就可以证明DP=PE; (2)△PBE能成为等腰三角形,位置有四种; (3)作MH⊥CB,MF⊥AC,构造相似三角形△MDF和△MHE,然后利用对应边成比例,就可以求出MD和ME之间的数量关系. 【解析】 (1)连接PC. ∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点, ∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=∠ACB=45°. ∴∠ACP=∠B=45°. 又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°, ∴∠DPC=∠BPE. ∴△PCD≌△PBE. ∴PD=PE; (2)共有四种情况: ①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB; ②CE=2-,此时PB=BE; ③当CE=1时,此时PE=BE; ④当E在CB的延长线上,且CE=2+时,此时PB=EB; (3)MD:ME=1:3. 过点M作MF⊥AC,MH⊥BC,垂足分别是F、H. ∴MH∥AC,MF∥BC. ∴四边形CFMH是平行四边形. ∵∠C=90°, ∴▱CFMH是矩形. ∴∠FMH=90°,MF=CH. ∵,HB=MH, ∴. ∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°, ∴∠DMF=∠EMH. ∵∠MFD=∠MHE=90°, ∴△MDF∽△MEH. ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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