Question

探索与证明：
（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．

Answer

（1）通过证明△DAB≌△ECA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，从而证得BD+CE=AE+AD=DE：
（2）通过△DAB≌△ECA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，从而证得CE-BD=AD-AE=DE．
【解析】
（1）猜想：BD+CE=DE．（1分）
证明：由已知条件可知：∠DAB+∠CAE=120°，∠ECA+∠CAE=120°，
∴∠DAB=∠ECA．
在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=60°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，
∴△DAB≌△ECA（AAS）．
∴AD=CE，BD=AE．
∴BD+CE=AE+AD=DE．（5分）

（2）猜想：CE-BD=DE．（6分）
证明：由已知条件可知：∠DAB+∠CAE=60°，∠ECA+∠CAE=60°，
∴∠DAB=∠ECA．
在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=120°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，
∴△DAB≌△ECA（AAS）．
∴AD=CE，BD=AE．
∴CE-BD=AD-AE=DE．（10分）