Question

如图，已知⊙O₁为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O₂，交AB的延长线于D，连接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O₁的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O₁的直径．

Answer

（1）要证DC是⊙O1的切线，只要连接O1C，求证∠O1CD=90°即可；
（2）运用切割线定理DB的长，再运用勾股定理求出BC的长，再证明△BCD∽△CEB，解得CE=5．
（1）证明：
证法一：过点C作⊙O1的直径CE，并连接BE（1分）
∵∠BCD=∠A，∠E=∠A
∴∠BCD=∠E（3分）
∵CE为⊙O1的直径
∴∠CBE=90°（4分）
∴∠E+∠ECB=90°
∴∠BCD+∠ECB=90°
即EC⊥CD
∴CD为⊙O1的切（6分）
证法二：过C作⊙O1的直径CE，连AE，利用圆内接四边形的外角的性质进行证明．
证法三：连OO1、O1O2并延长O1O2交于点M，利用圆心角关系进行证明．

（2）【解析】

解法一：∵CD为⊙O1的切线
∴CD2=DB•DA=DB•（DB+AB）由CD=2，AB=3
解得DB=1，DB=-4（舍去）（8分）
∵CB为⊙O2的直径
∴∠D=90°，则（9分）
∴△BCD∽△CEB
∴
∴，解得CE=5．（12分）
解法二：在求出DB=1的基础上，过O作OF⊥AB垂足为F，由四边形O1CDF是矩形进行解答；
解法三：在求出DB=1的基础上，由△O1O2C∽△COB可求出半径；
解法四：在求出DB=1的基础上，根据勾股定理，求AC；由△CDB∽△CAE可求出直径．