Question

如图，第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AO，已知△AOB的面积为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴交于P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P、O、A的抛物线能否由抛物线经过平移得到？若能，请说明由抛物线如何平移得到；若不能，请说明理由．

Answer

（1）利用反比例函数的性质即可得出k的值，即可得出答案；
（2）首先得出A点的坐标，再利用当△ABP∽△ABO时，以及当△PBA∽△ABO时，分别求出即可；
（3）根据当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下，不能由的图象平移得到，当点P坐标是（-6，0）时，求出二次函数解析式即可得出平移过程．
【解析】
（1）设反比例函数的解析式为，
点A的坐标为（x，y），
∵S△AOB=4，
∴，
∴xy=8，
∴；

（2）由题意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵点P在x轴上，设P点坐标为（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP与△ABO相似有两种情况：
①当△ABP∽△ABO时，
有，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②当△PBA∽△ABO时，
有，
即，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合条件的点P坐标是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下，
∴不能由的图象平移得到，
当点P坐标是（-6，0）时，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点P（-6，0）、A（2，4）与O（0，0），
∴，，c=0，
∴，
∴，
∴该抛物线可以由向左平移3个单位，向下平移个单位平移得到．