Question

如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．

（1）求c的值；
（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
（3）设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

Answer

（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；
（2）若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；
由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4，于是以A点为圆心，AB=4为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．
【解析】
（1）∵抛物线经过D（-，），则有
-×3+c=，
解得c=6；

（2）设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N
∵S△ADC=S△ACB，
∴AC•DM=AC•BN，即DM=BN；
∴CE•DM=CE•BN，
即S△CED=S△BEC（*）；
设△BCD中，BD边上的高为h，由（*）得：
 DE•h=BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（-2，0），B（2，0），D（-，），
由于E是BD的中点，则E（，）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
 ，
解得；
∴直线AC的解析式为y=x+

（3）存在．
设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4，
于是以A点为圆心，AB=4为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，
再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，
此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．