Question

如图，点E是正方形ABCD边BA延长线上一点（AE＜AD），连接DE．与正方形ABCD的外接圆相交于点F，BF与AD相交于点G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若tan∠E=2，BE=，求BG的长．

Answer

（1）先根据四边形ABCD是正方形可得出∠DAB=90°，AD=AB，∠DAE=90°，由全等三角形的判定定理可得出△DAE≌△BAG，进而可得出DE=BG；
（2）由tan∠E=2可知AD=2AE，由BE=可得出AD=4AE=2，在Rt△ADE中利用勾股定理可求出DE的长，由DE=BG即可得出结论．
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB
∵点E在BA的延长线上，
∴∠DAE=∠DAB=90°，
∴∠DAE=90°，
∴∠FDA=∠FBA，
在△DAE和△BAG中，
，
∴△DAE≌△BAG（ASA），
∴DE=BG；

（2）∵tan∠E==2，
∴AD=2AE，
∴EB=AB+AE=AD+AE=6，
∴AD=2AE=2，
∴BG=DE==2，
答：∴BG为2．（7分）