Question

已知二次函数y=ax²+bx+c．
①若b=2a+c，那么函数图象一定经过哪个定点？
②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．
③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

Answer

（1）将b=2a+c整理为4a-2b+c=0即可判断其经过的点的坐标；
（2）根据题目提供的条件求得其顶点的纵坐标，进一步整理即可得到答案；
（3）将（0，y1）和（1，y2）分别代入函数的解析式，利用y1•y2＞0、2a+3b+6c=0，即可确定纵坐标的取值范围．
（1）【解析】
由b=2a+c，可得4a-2b+c=0，
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴函数图象一定经过点（-2，0）；

（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax2+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．
∴顶点纵坐标≤1，
∴-b2≥4a，
∴4a+b2≤0；

（3）【解析】
由2a+3b+6c=0，可得6c=-（2a+3b），
由题意，y1•y2=c•（a+b+c）＞0，
即6c•（6a+6b+6c）＞0，
∴-（2a+3b）•（4a+3b）＞0，（2a+3b）•（4a+3b）＜0，
两边同除以9a2，
∵9a2＞0，
∴＜0，
∴或
∴，
∴，即为所求．