Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P．
（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP的面积S的取值范围．

Answer

（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）代入x=-，得A点的横坐标为m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得函数的解析式；
（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）2+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）2+2）根据AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值从而表示出△OPE的面积，进而求得面积的取值范围．
【解析】
（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），
设P（1，n）据x=-，得A点的横坐标为m，即m=2，
所以y=-x2+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，
即P点的坐标为（1，1）

（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）2+2，
可知A（m，2），设C（n，2），
把n代入y=-（x-m）2+2得y=-（n-m）2+2，
所以P（n，-（n-m）2+2）
∵AC=CP
∴m-n=2+（m-n）2-2，
即m-n=（m-n）2，
∴m-n=0或m-n=1，
又∵C点不与端点A、B重合
∴m≠n，
即m-n=1，
则A（m，2），P（m-1，1）
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2-m，
∴△OPE的面积S=（2-m）（m-1）=-（m-）2+（1＜m＜2），
∴0＜S≤．