Question

已知：抛物线y=ax²-4ax+m与x轴的一个交点为A（1，0）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点C是抛物线与y轴的交点，且△ABC的面积为3，求此抛物线的解析式；
（3）点D是（2）中开口向下的抛物线的顶点．抛物线上点C的对称点为Q，把点D沿对称轴向下平移5个单位长度，设这个点为P；点M、N分别是x轴、y轴上的两个动点，当四边形PQMN的周长最短时，求PN+MN+QM的长．（结果保留根号）

Answer

（1）先求出抛物线的动对称轴，根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再结合△ABC的面积为3的条件便可求出抛物线的解析式；
（3）先根据题意求出D、Q、P三点的坐标，进一步解答便可求出当四边形PQMN的周长最短时，PN+MN+QM的长．
【解析】
（1）依题意，抛物线的对称轴为x=2．
∵抛物线与x轴的一个交点为A（1，0），
∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）；（1分）

（2）∵抛物线y=ax2-4ax+m与x轴的一个交点为A（1，0），
，
∴C（0，3a）．（2分）
∵△ABC的面积为3，
AB=2，OC=|3a|，
S△ABC=．
∴|3a|=3．
∴a=±1，m=±3．
∴所求抛物线的解析式为y=x2-4x+3或y=-x2+4x-3；（4分）

（3）依题意知，抛物线的解析式为．y=-x2+4x-3，
∴点D（2，1），C（0，-3），P（2，-4）．
设Q（x，y），
∵点C与点Q关于x=2对称，
∴点Q坐标（4，-3）．（6分）
分别作P、Q关于y轴、x轴的对称点P′、Q′，
连接P′Q′，分别交x轴、y轴于点M、N．
连接PN、MQ，则此时四边形PQMN的周长最短．（7分）
∴P′（-2，-4），Q′（4，3）．
过P′作P′E垂直Q′E于E．∴E（4，-4）．
∴P′E=6，Q′E=7，
由作图可知，PN=P′N，QM=Q′M．
∴PN+MN+QM=P’N+MN+Q′M=P′Q′=．
∴PN+MN+QM的长为．（8分）