Question

如图，给出五个条件：①AE平分∠BAD，②BE平分∠ABC，③E是CD的中点，④AE⊥EB，⑤AB=AD+BC．
（1）请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出AD∥BC的正确命题，并加以说明；
（2）请你以其中三个作为命题的条件，写出一个不一定能推出AD∥BC的正确命题，并举例说明．

Answer

（1）观察题中给定条件，由①②⑤可推出AD∥BC，只要在AB上取点M，使AD=AM，即可证△AEM≌△AED，△BEM≌△BCE，并能得到∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°，从而得到AD∥BC．
（2）由①②③不能推得AD∥BC，证明即可．
【解析】
（1）①②⑤⇒AD∥BC；
证明：在AB上取点M，使AM=AD，连接EM，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠MAE，
又AD=AM，AE=AE
∴△AEM≌△AED（SAS），
∴∠D=∠AME，
∵AB=AD+BC，AD=AM，
∴BC=BM
同理有△BEM≌△BCE（SAS），
∴∠C=∠BME，
∴∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°，
∴AD∥BC；

（2）①②③⇒AD∥BC为假命题反例：
过E作AB⊥EM，显然有，AE平分∠DAM，BE平分∠ABC，ED=EC，但AD不平行于BC．