Question

如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD﹦6，sin∠D=，求⊙O的半径及CE的长．

Answer

（1）要证明CF﹦BF，可以证明∠1=∠2；AB是⊙O的直径，则∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，则∠CEB﹦90°，则∠2﹦90°-∠A﹦∠1，∠1﹦∠A，则∠1=∠2，即可得到CF=BF．
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据sin∠D=求得AC，即可±求得CE的长．
（1）证明：∵C是的中点，
∴∠D=∠1
又∵∠A和∠D同对弦BC，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠2=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠2，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF

（2）∵C是 的中点，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB2=AC2+BC2，
又∵BC=CD，
∴AB2=64+36=100，
∴AB=10，
∵sin∠D=，
∴AC=8
∴CE===，
故⊙O的半径为5，CE的长是 ．